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第1586章 虚数（第1页）

日头落尽，暑气未散。唐王府后院的石桌上摆着几碟小菜。苏小婉熬的绿豆汤盛在青瓷碗里，碗壁凝着一层细密水珠。李晨从北大学堂回来，汗湿了半件衫子。柳轻颜坐在石桌旁，面前摊着一摞麻纸。纸上密密麻麻写着算式，手边一盏油灯，灯芯拨得不高，火苗被晚风一扑，摇得满纸光影乱晃。“还在算？”李晨在她对面坐下，端起绿豆汤喝了一口。“算不出。”柳轻颜没抬头，笔尖在纸上点了一下，又划掉一行。“学生们问了个问题。关于压缩机壳体的振动。杨素素给的参数里，有一组数据怎么都配不上。妾身用实数算了三遍，结果都不一样。”“什么数据？”“摩擦焊的时候，铜管和铸铁壳体之间的应力分布。杨素素说震动频率有奇特的相位偏移。用普通的三角法算，越算越复杂。妾身怀疑问题出在波动的相位上。”李晨放下碗，凑过去看了一眼。麻纸上画着波形图，正弦曲线密密麻麻。实部虚部混在一起，标注的小字工工整整。“用复数试试。”柳轻颜的笔停住了。“复数？王爷说的是实部虚部那个复数？”“对。波动问题用实数强算，当然越算越乱。换成复数，相位差就变成了角度，幅值就是模长。原来的三角函数叠加，全变成了复数的乘除。”柳轻颜抬起头。灯光映在脸上，眼角的细纹被照得柔和。“王爷也懂这个？”“懂一些。但没你深。你在北大学堂教数学，学生叫你什么？柳大家？”“学生叫我柳先生。”柳轻颜把笔搁下，嘴角弯了弯。“背地里叫铁算盘。”“铁算盘好。比那些只会念经的酸儒强。”李晨又翻了一页麻纸。上面画着螺杆压缩机的齿面曲线。阳转子四齿，阴转子六齿，齿面间隙标着零点零五毫米。“杨素素说，齿面间隙再小，加工时会出涡旋振动。用你的数学能不能算出来，振动最厉害的点在哪个位置？”“能算。但需要的工具不对。”柳轻颜站起来，走到廊下。西边还挂着最后一抹晚霞，像烧红的铁块慢慢凉下去。“王爷，你今天在北大学堂讲热的本源。妾身没去，但听陈默回来转述了几句。你说热量不会自发从低温流向高温，但人可以。学生回去以后全在讨论。”“讨论什么？”“说王爷讲的不是物理，是人心。”“物理就是人心。人心就是物理。没什么两样。”“那虚数也是人心？”柳轻颜转身，倚着廊柱，目光落在李晨脸上。“王爷跟妾身说句实话。这个虚数，到底是不是数？一个平方之后等于负一的东西，世上哪里有？没有的东西，为什么算出来的结果偏偏是对的？妾身有时候算到半夜，越算越觉得这东西像是……假的。可假的为什么这么有用？”“你觉得假，是因为你还没看清它是什么。”李晨也走到廊下。晚风从西边吹来，带着水电站那边的潮气，总算有了一丝凉意。“来，坐下。今天我给你讲讲虚数的来历。讲完了，你就知道它假不假了。”柳轻颜坐回石桌旁，重新拿起笔。这次她把油灯拨亮了些，灯花哔剥响了一声。“人最早认识数字的时候，只有正整数。一个苹果，两只羊，三块石头。这些数字足够应付过日子。”“但很快遇到麻烦。”李晨伸出三根手指。“三个苹果，拿走五个，怎么办？三减五等于多少？”“负数。”柳轻颜说。“对。负数不是现实里能看见的苹果数量，但它能代表方向。账户里有银子，是正数。欠了钱，是负数。世界上没有负一个苹果，但负数有用。它解决了一个旧体系解决不了的新问题。”“然后呢？”柳轻颜问。“然后又遇到新问题。两个数相乘等于一，在整数里找不到。于是有了分数。整数加分数，组成有理数。再后来，一个正方形边长为一，对角线多长？勾股定理算出根号二。根号二既不是整数，也不是分数。于是有了无理数。”“每一次数学扩展，都是因为旧的体系解决不了新的问题。不是数学家凭空创造新东西，是现实问题逼着数学不断往外扩。”李晨的声音顿了一下。“正整数、负数、无理数。每一样刚出现的时候，都被人骂过。骂负数荒唐，骂无理数是疯子的数字。可结果呢？现在哪个人离得开负数？哪个人离得开无理数？你算圆面积，能不用圆周率？”“虚数也一样。”“哪里一样？虚数更离谱。”柳轻颜皱眉。“负数好歹能想成欠钱。无理数好歹能画成对角线。虚数怎么画？虚的。看不见摸不着。王爷说现实问题逼出虚数，可现实里哪里有一个虚的东西？”，！“问题不在现实里有没有。问题在旧数学解决不了新问题。”李晨用手指蘸了点绿豆汤，在石桌上画了一条线。“故事要从很久以前说起，那时候数学家之间流行一种挑战。你出一道方程我来解，谁解决更复杂的问题，谁就是高手。”“最难的题之一就是三次方程。后来有个叫卡尔达诺的人，找到了三次方程的通用解法。轰动一时。但在推导过程中，他遇到了一个东西——负数的平方根。”“根号负一。”柳轻颜说。“对。按照以前的规则，这不存在。因为任何一个数平方之后都是正数。二的平方等于四。负二的平方也等于四。没有哪个数平方以后等于负一。所以当时很多数学家觉得这个东西没有意义，有人直接把它叫虚假的量。”“虚假的量。”柳轻颜念了一遍，像在嚼这四个字的味道。“但有个数学家提出了一个大胆的想法。既然这个东西在公式里出现了，为什么不能假设它存在？于是他定义了一种新的数字，它的平方等于负一。这个数字后来被叫做i。虚数单位。”李晨在石桌上写了个小小的i。水渍在青石上慢慢洇开，笔画渐渐模糊。“刚开始很多人接受不了，毕竟它不像普通数字，你在现实里找不到i个苹果。但数学家发现了一件非常神奇的事情。只要允许i存在，很多原本复杂的问题突然就解决了。三次方程解决了。大量代数公式变得统一，数学开始慢慢接受这种新数字。”“后来数学家发现，虚数并不是孤零零的数字。真正重要的是复数。一个普通数字加上一个虚数组成的数字。比如三加二i。这里三叫实部，二i叫虚部。它既包含普通数字的信息，也包含虚数的信息。”李晨又在桌上画了个坐标系。“那这个东西到底代表什么？直到后来，数学家给出了一个非常漂亮的答案。复数其实可以看成二维空间的一个点。三加二i，横坐标是三，纵坐标是二。实数是一条线，复数是一整个平面。”柳轻颜盯着桌上的水渍图，呼吸忽然轻了。“这个发现非常重要。”李晨的声音沉下来。“因为在普通数字里面，乘法只是放大和缩小。但在复数的世界里，乘法还藏着一个功能——旋转。”“旋转？”“比如乘以i，相当于让一个点旋转九十度。再乘一个i，再旋转九十度。连续旋转两次就是一百八十度。所以i乘以i等于负一。这在几何上看特别直观。一个方向旋转一百八十度，就到了相反的方向。”柳轻颜抓起笔，在麻纸上画起来。先画一个点，标上一。然后乘以i，转到正上方，标上i。再乘以i，转到左边，标上负一。“原来如此。”她的声音很轻，像在自言自语。“原来虚数不是假的，它只是描述旋转的另一种语言。旋转九十度，旋转一百八十度，旋转两百七十度。转一整圈又回到。实数轴加上虚数轴，就是一个平面上的坐标系。”“这就是你的铁算盘里缺的那块东西。”李晨点头。“后来有个叫欧拉的数学家，发现了一个更神奇的公式。e的iθ次方等于sθ加i乘sθ。这个公式把几个数学里最重要的东西连在了一起。自然对数的底、圆周率、虚数。它告诉我们，指数增长、圆周运动、旋转，背后都是同一个数学结构。”“同一个结构。”柳轻颜重复了一句，手指无意识地在纸上画圈。“到了后来，物理，复数开始展现真正的作用。第一个地方就是交流电。交流电的电压和电流会不断周期变化，但不同元件之间会产生时间差。电流可能比电压提前，也可能滞后。这个时间差叫相位差。”“如果用普通数字计算，会出现大量三角函数，非常麻烦。但复数出现之后，震荡大小对应复数长度，变化方向对应复数的角度。所有问题一下子变成了简单的乘法。”“王爷说的是电？”柳轻颜的眼睛亮了。“不只是电。光、声波、无线通信，本质上都是波。波最重要的两个东西，一个是强弱，一个是相位。复数刚好天然适合描述这两个东西。所以今天的通信、雷达、图像处理，几乎都离不开复数。”：（）饥荒年代：我要养村里30个女人